令和５年二級建築士学科試験　構造の問題

１については断面一次モーメントを利用して解きます。これは過去に何度も出題されています。同じように解けばOKです。

その次の断面二次モーメントですが、図形がL型をしていますので、２つの長方形に分けて求め、その２つを合計します。ただし、それぞれ長方形の図心位置（長方形の中心）が、L型図形の図心軸とずれているので注意が必要です。軸と図心が一致しない場合の公式は次のようになります。

$$\frac {bh^{3}}{12}+bhyo^{2}$$
（yo：軸と図心がずれている距離）

軸と図心が一致する場合は、yoが0ということなので、

$$bhyo^{2}$$

 も0になります。したがってはじめの部分、 $$\frac {bh^{3}}{12}$$のみで求めることができます。

ゆこ

ここ数年の断面二次モーメントの問題はこの公式で解けていたのですが、ずれている場合の公式も覚えておく必要があると言えそうですね。

全体（L型）図形の図心位置を求める

図心位置は、断面一次モーメントを利用して解きます。L型の図形は２つの長方形に分けて考えてください。左右に分けても上下に分けてもOKです。結果は同じになります。
ここでは、左右に分けた場合の解説をします。

左の長方形　X軸から図心までの距離は3cm

よって断面一次モーメントは、2cm×6cm×3cm＝36cm³

右の長方形　X軸から図心までの距離は1cm

よって断面一次モーメントは、6cm×2cm×1cm＝12cm³

２つを合わせると

36cm³＋12cm³＝48cm³

次に、図形全体（L型）で断面一次モーメントを考えます。求め方は同じです。

面積×軸から図心までの距離　です。

全体の面積は24cm²ですね
断面一次モーメントは先ほど求めた48cm³

わからないもの、つまり、求めたいものは、軸から図心までの距離です。

ということで式（面積×距離＝断面一次モーメント）を立ててみますと

$$24cm^{3}×距離＝48cm^{3}$$

となり、L型図形の図心は、X軸から2cmの位置ということになります。

断面二次モーメントを求める

２つの長方形に分けて求めます。先ほど求めた図形全体の図心軸に対して、それぞれの長方形の断面二次モーメントを求めます。
$$\frac {bh^{3}}{12}+bhyo^{2}$$

ここで、全体の図心軸と長方形の図心位置がずれていることに注意してください。

左右に分けた場合、全体の図心軸から各長方形の図心位置までの距離は、共に１cmとなります。つまり、yo はそれぞれ1です。

左の長方形

$$\frac {2×6^{3}}{12}+2×6×1^{2}＝48cm^{4}$$

右の長方形

$$\frac {6×2^{3}}{12}+6×2×1^{2}＝16cm^{4}$$

合計すると　48cm⁴＋16cm⁴＝64cm⁴　となります。

≪正解2≫　

参考　図心の求め方

L型の図形を２つの長方形に分け、それぞれの図心を結びます。

この結んだ線上に、L型図形の図心があります。

次に、長方形の分け方を左右から上下に変えてみます。

図心を赤い線で結ぶと、同じくこの線上にL型図形の図心があることになります。

つまり、２つの線の交わったところが、L型図形の図心ということになります。

反力を求める　

反力は荷重Pの半分になりますので、$$\frac {P}{2}$$です。

せん断力を求める

せん断力は、その点において、左側の荷重をそのまま合計します。
上向きの力を＋としてください。

せん断力図を描くと下図のようになります。

公式に代入する

$$τ max=1.5\frac{Q}{A}$$

τmaxに、設問で与えられている１を代入します。
Qは絶対値で考えればOKです。
Aの面積は、300×500ですね。

$$1＝1.5×\frac{\displaystyle\frac{P}{2}}{300×500}$$

これを計算すると、Pは、200,000N
単位をｋNにすると、200ｋNとなります。

≪正解3≫　

反力を求める

B点を基準につり合い方程式を立て、A点の反力（RA）を求めます。

RA×18－24×6＝0　⇒　RA＝8ｋN

上からの等分布荷重は、2ｋN/ｍ×12ｍで、24ｋN

鉛直方向の力はつり合いますので、RBは、16ｋNとなります。

曲げモーメントが最大になるところを探す

曲げモーメントが最大になるところは、せん断力が0になるところになります。
せん断力図で、プラスからマイナスになる位置を探します。

せん断力は、求めたい位置においてその点から左側の荷重を合計して求めます。
（上向きが＋）

A点から8ｍの範囲は、反力の8ｋN。
等分布荷重がかかっている範囲は、B点に近づくにつれて、１ｍごとに2ｋNずつ減っていくことになり、B点に至ると－16ｋNになります。

せん断力図は下図のようになります。

せん断力が0の位置は、次の式を満たすｘの値を求めればOKです。

＋8ｋN/m－2ｋN/m × L＝0　⇒　L＝4　

（8と16なので、12ｍを1：2に分けてもOKです。）

曲げモーメントを求める

A点から10ｍ（6ｍ＋4ｍ）の位置での曲げモーメントを求めます。
求めたい点から左側の荷重について、モーメントを合計してください。

8×10 －2×4×2 ＝ 64ｋN・ｍ

※上からかかっている等分布荷重を忘れないように注意してください。

≪正解4≫　

水平反力HBを求める

Aはローラーなので、水平反力はありません。水平反力を負担するのはピンであるBです。

ラーメンに対して横向きにかかっている荷重は、1ｋN/ｍの水平力のみなので、HBは、

1ｋN/ｍ×6ｍ＝6ｋN
（1ｋN/ｍの等分布荷重は右向きなので反力は左向き、したがって「＋」です。）

鉛直反力RBを求める　

A点を基準につり合い方程式（ΣM＝0）を立てます。
（基準の点に対して時計回りの力を＋とします）

1×6×3 ＋ 2×6×3 －RB×6 ＝ 0　
⇒　RB＝9ｋN
（上向きを想定して答えが＋なので、想定通り上向きの力「＋」となります。）

E点の曲げモーメントを求める

E点の右側の荷重に対して、モーメント（力×距離）を合計します。
右側の荷重は、2ｋN/mの等分布荷重（半分の3ｍ）とHBの6ｋN、RBの9ｋN、この３つです。

2×3×1.5 ＋6×6 －9×3 ＝ 18ｋN

ということで、答えは➎ということになりました。

最後のE点の曲げモーメントですが、左側でも同じ値になりますので確認しておきます。
（ただし、符号は変わります。）

ΣY＝0より、RA ＋9（RB）－2×6（等分布荷重）＝ 0　⇒　RA＝3ｋN

E点の曲げモーメントを左側で計算すると

3（RA）×3 －1×6×3 －2×3×1.5 ＝ －18ｋN

符号は違いますが、同じ18ｋNとなりました。最後のモーメントは絶対値を求めればいいので、計算するのは左右どちらでも構いません。できれば、両方計算してみて同じ数値になるか確認しておくとベターです。

≪正解5≫　

消しゴムなどやわらかいものをイメージしてみてください。上から荷重をかけると、下図のようにたわみます。
この時、上端は押されて縮んでいます。つまり圧縮「－」です。
下端は、引っ張られて伸びることになります。つまり引張「＋」です。
このことより、部材Aは圧縮、部材Cは引張となりますので、トラスの解き方があまりわからなくても、正解は２か３であるという判断はできます。

反力を求める

まずは反力から求めていきましょう。
トラスの上部からかかっている５つの荷重を合計すると8ｋNです。トラスは左右対称になっていますので、左側のピンと右側のローラーが負担する反力は同じ、つまり、8ｋNを半分にすれば求まります。反力は、4ｋNです。

切断法で解く

トラスの解き方は主に節点法と切断法がありますが、この問題においては切断法で解くようにします。

赤線位置で切断し、左側を見た場合、上からの荷重1ｋNと2ｋN、それから反力の4ｋN、切断された部材ABC、この6つの力がつり合います。つまり、ΣX＝0、ΣY＝0　ΣM＝0　この３つの式が成り立ちます。

部材ABCの力の向きは赤線側としていますが、これは反対を想定しても構いません。計算を行ない、結果が「＋」となる場合は想定した向き、結果が「－」となる場合は想定した向きと反対の向きに力が作用していることになります。

では、部材Aから求めていきましょう。
部材Aを求める場合は、BとCの交点を基準にモーメントのつり合い （ΣM＝0） を考えます。そうすると、部材BとCは、それぞれの距離が0になりますので、BとCのモーメントは0になり、計算において考慮する必要がなくなります。

－1ｋN×3ｍ －2ｋN×1ｍ ＋4ｋN×2ｍ ＋A×√3ｍ ＝ 0　⇒　A＝－√3ｋN

答えがマイナスとなりましたので、想定していた右向きとは反対で左向きとなります。節点に向かう向きなので、部材Aは圧縮（－）となります。

同じように、部材Cを求める場合は、AとBの交点を基準にモーメントのつり合い （ΣM＝0） を考えます。

－1ｋN×4ｍ －2ｋN×2ｍ ＋4ｋN×3ｍ －C×√3ｍ ＝ 0　⇒　C＝ｋN

答えがプラスとなりましたので、想定していた通り右向き。節点から離れる向きなので引張（＋）です。

最後部材Bですが、部材Bは、鉛直方向のつり合い （ΣY＝0） を考えます。
斜めになっていますので、縦の成分と横の成分に分けてください。

－1ｋN －2ｋN ＋4ｋN ＋Bの縦の成分 ＝ 0　⇒　Bの縦の成分＝－1ｋN

答えがマイナスなので、想定とは反対の下向き。節点に向かう向きなので圧縮（－）です。

縦成分が1なので、三角形の比より、部材Bそのものの力は、2√3／3ｋN （圧縮）となります。

√3のところが１となりますので、斜め部分の部材Bは
1kN：B ＝ √3：2
この関係より求めることができます。

≪正解2≫　

弾性座屈荷重（部材が座屈する時の荷重）を表わす式（オイラーの公式）は、

$$\frac {π^2 EI}{lk^2}$$

です。

設問より、材質が同じなので、πとEは無視し、$$\frac {I}{lk^2}$$

この部分だけを比較します。

この時、lk は、材の長さではなく座屈長さであることに注意してください。材端条件により、座屈長さは違ってきます。

ただ、この問題における材端条件は両端ピン、水平拘束なので、座屈長さは部材の長さと等しくなります。lk＝l　です。

１から５までを式に代入してみると

この計算をして一番大きいものを見つけることになりますが、少し面倒ですよね。
まず、10^－5をなくしてください。
次に、分母と分子を反対にして、反対に答えが一番小さくなるものを見つけるようにします。
そうすると、計算が楽になります。

代入してみると

一番値が小さくなった４が、一番座屈荷重が大きいということになります。

≪正解4≫